Question

過雙曲線x²-y²=1上一點Q作直線x+y=2的垂線，垂足為N，則線段QN的中點P的軌跡方程為（　　）

A．2x²-2y²-2x-1=0

B．x²+y²=1

C．2x²+2y²-y=0

D．2x²-2y²-2x+2y-1=0

Answer 1

分析：設P（x，y），欲求其軌跡方程，即尋找其坐標間的關系，根據垂線的關系及點Q在雙曲線上，代入其方程即可得到．

解答：解：設P（x，y），Q（x₁，y₁），則N（2x-x₁，2y-y₁），
∵N在直線x+y=2上，
∴2x-x₁+2y-y₁=2①
又∵PQ垂直于直線x+y=2，∴

y-y1

x-x1

=1，
即x-y+y₁-x₁=0．②
由①②得

x1= 3 2 x+ 1 2 y-1 y1= 1 2 x+ 3 2 y-1

，
又∵Q在雙曲線x²-y²=1上，
∴x₁²-y₁²=1．
∴（

3

2

x+

1

2

y-1）²-（

1

2

x+

3

2

y-1）²=1．
整理，得2x²-2y²-2x+2y-1=0即為中點P的軌跡方程．
故選D．

點評：本題主要考查了軌跡方程的問題．求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x，y）卻隨另一動點Q（x′，y′）的運動而有規律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′，y′表示為x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法．