Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E，F在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：BF⊥平面ADF；
（Ⅱ）求BF與平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）在DB上是否存在一點M，使ME∥平面ADF？若不存在，請說明理由；若存在，請找出這一點，并證明之．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，結合線面垂直的性質可得DA⊥圓面O，進而得到DA⊥BF，又由AB為圓O的直徑，可得BF⊥AF，根據線面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）過點F作FH⊥AB交AB于H，結合已知，我們可得∠FBA是BF與平面ABCD所成角的平面角，解三角形HBA即可得到BF與平面ABCD所成的角；
（III）取BD中點記作M，設DC的中點為N，連接EO，ON，EN，則M點在ON上，根據ON∥AD，OE∥AF，且AD∩AF=A，得到面NOE∥面ADF，得到存在點M滿足條件，此時點在線段中點．．
解答：證明：（I）∵AB為圓O的直徑，
∴BF⊥AF，
又∵平面ABCD⊥圓O面，且平面ABCD∩圓O面=AB，DA⊥AB，
∴DA⊥圓面O，BF?圓面O，
∴DA⊥BF，DA∩AF=A，
∴BF⊥平面ADF；
解：（II）過點F作FH⊥AB交AB于H，
DA⊥圓面O，FH?圓面O，
DA⊥FH，
∴FH⊥平面ABCD，
∴∠FBA是BF與平面ABCD所成角的平面角，
∵HF=，BH=，
∴∠FBA=30°，
∴BF與平面ABCD所成角是30°．
解：（III）取BD中點記作M，設DC的中點為N，連接EO，ON，EN，
則M點在ON上，
ON∥AD，OE∥AF，
AD∩AF=A
∴面NOE∥面ADF
∵M點在平面NOE上，
∴ME∥平面ADF
此時點M在BD的中點．
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是得到BF⊥AF，DA⊥BF，（2）的關鍵是得到∠HBA是BF與平面ABCD所成角的平面角．