Question

直線y=1-x交拋物線y²=2px（p＞0）于M，N兩點(diǎn)，向量

OM

+

ON

與弦MN交于點(diǎn)E，若E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2

，則p的值為（　�。�

• A．2
• B．1
• C．

  1

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由

y=1-x y2=2px(p＞0)

⇒x²-（2+2p）x+1=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的兩根，由

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂），E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2

可求得

x1+x2

2

=

3

2

，利用韋達(dá)定理即可求得p的值．

解答：解：∵直線y=1-x交拋物線y²=2px（p＞0）于M，N兩點(diǎn)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=1-x y2=2px(p＞0)

得x²-（2+2p）x+1=0，則x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的兩根，
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=2+2p①；
又∵向量

OM

+

ON

與弦MN交于點(diǎn)E，
∴

OM

+

ON

=2

OE

，而

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂），E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2

，
∴

x1+x2

2

=

3

2

，即x₁+x₂=3②
由①②得：2+2p=3，解得p=

1

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，與條件“向量

OM

+

ON

與弦MN交于點(diǎn)E，若E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2

”結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題，屬于難題．