Question

已知sin(α+

3π

4

)=

1

7

，cos(

π

4

-β)=

4

5

，且-

π

4

＜α＜

π

4

，

π

4

＜β＜

3π

4

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：由已知的條件求得α+

3π

4

、

π

4

-β的范圍，利用角三角函數的基本關系求得cos(α+

3π

4

)、sin(

π

4

-β)的值，再由cos(α-β)=-cos(α-β+π)=-cos[(α+

3π

4

)+(

π

4

-β)]，利用兩角和的余弦公式求得結果．

解答：解：∵-

π

4

＜α＜

π

4

，

π

4

＜β＜

3π

4

，∴

π

2

＜α+

3π

4

＜π，-

π

2

＜

π

4

-β＜0．…（2分）
又∵sin(α+

3π

4

)=

1

7

，cos(

π

4

-β)=

4

5

，
∴cos(α+

3π

4

)=-

4 3

7

，sin(

π

4

-β)=-

3

5

．…（6分）
∴cos(α-β)=-cos(α-β+π)=-cos[(α+

3π

4

)+(

π

4

-β)]=-cos(α+

3π

4

)cos(

π

4

-β)+sin(α+

3π

4

)sin(

π

4

-β)
=

4 3

7

×

4

5

+

1

7

×(-

3

5

)=

16 3 -3

35

．…（12分）

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角和的余弦公式的應用，屬于中檔題．