Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的最大值、最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定平面BDD₁的一個法向量、平面BFC₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BDD₁與平面BFC₁所成的銳二面角的余弦值；
（Ⅱ）設P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），確定y的范圍，表示出EP，即可求EP的最大值、最小值．
解答：解：（I）平面BDD₁的一個法向量為
設平面BFC₁的法向量為
∴
取z=1得平面BFC₁的一個法向量
∴
∴所求的余弦值為…（5分）
（II）設P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），，
由得
即，
∵0≤x≤1，∴，∴
∴
∵，∴當時，∴，當時，∴…（10分）
點評：本題考查向量知識的運用，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．