Question

已知函數

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）若在區間上是增函數，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）極小值為1+ln2，函數無極大值；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先確定函數的定義域（此步容易忽視），把代入函數，再進行求導，列的變化情況表，即可求函數的極值；（Ⅱ）先對函數求導，得，再對分和兩種情況討論（此處易忽視這種情況），由題意函數在區間是增函數，則對恒成立，即不等式對恒成立，從而再列出應滿足的關系式，解出的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域為，      1分

，當a=0時，，則，       3分

∴的變化情況如下表

x	(0，)		(，+∞)
	-	0	+
		極小值

∴當時， 的極小值為1+ln2，函數無極大值.                7分

（Ⅱ）由已知，得，  8分

若,由得,顯然不合題意，       9分

若∵函數區間是增函數，

∴對恒成立，即不等式對恒成立，

即 恒成立，  11分

故，而當，函數，  13分

∴實數的取值范圍為．                            14分

另解: ∵函數區間是增函數，

對恒成立，即不等式對恒成立，

設，恒成立恒成立，

若，由得，顯然不符合題意；

若，由，無解，顯然不符合題意；

若， ，故，解得，所以實數的取值范圍為．

考點：1、函數的極值；2、導函數的性質及綜合應用．