Question

附加題：
設不等式組表示的平面區域為D，區域D內的動點P到直線x+y=0和直線x-y=0的距離之積為2。 　　
（1）記點P的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為_______； 　　
（2）在（1）的前提下，若過點，斜率是k的直線l與曲線C交于A、B兩點，記|AB|=f（x），則線段AB的長f（x）=_______； 　　
（3）在（2）的前提下，若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則直線l的斜率k的值為_______。

Answer 1

解：（1）由題意可知，平面區域D如圖陰影所示，　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
設動點為P（x，y），則，即，
由P∈D知x+y>0，x-y＜0，即x²-y²＜0，
所以y²-x²=4（y＞0），　　
即曲線C的方程為=1（y＞0）；
（2）設，　　
則以線段AB為直徑的圓的圓心為，
因為直線AB過點F（2，0），　　
所以設直線AB的方程為y=k（x-2），
代入雙曲線方程=1（y＞0）得，k²（x-2）²-x²=4，　　
即（k²-1）x²-4k²x+（8k²-4）=0，
因為直線與雙曲線交于A，B兩點，所以k≠±1，
所以　　
所以|AB|= 　　
=
=f（k）；
（3），　　
所以|AB|=|x₁+x₂|=||，　　
化簡得：k⁴+2k²-1=0，　　
解得k²=-1（k²=--1不合題意，舍去），
由，　　
又由于y＞0，所以-1＜k＜，
所以k=-。