Question

【題目】從拋物線C：（）外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點Q，點在拋物線C上，且（F為拋物線的焦點）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）①求證：四邊形是平行四邊形.

②四邊形能否為矩形？若能，求出點Q的坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②能，.

【解析】

（1）根據拋物線的定義，求出，即可求拋物線C的方程；

（2）①設，，寫出切線的方程，解方程組求出點的坐標. 設點，直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理得到點的坐標，寫出點的坐標，，可得線段相互平分，即證四邊形是平行四邊形；②若四邊形為矩形，則，求出，即得點Q的坐標.

（1）因為，所以，即拋物線C的方程是.

（2）①證明：由得，.設，，

則直線PA的方程為（ⅰ），

則直線PB的方程為（ⅱ），

由（ⅰ）和（ⅱ）解得：，，所以.

設點，則直線AB的方程為.

由得，則，，

所以，所以線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分.

在①中，令解得，所以，同理得，所以線段CD的中點坐標為，即，又因為直線PQ的方程為，所以線段CD的中點在直線PQ上，即線段CD被線段PQ平分.

因此，四邊形是平行四邊形.

②由①知，四邊形是平行四邊形.

若四邊形是矩形，則，即

，

解得，故當點Q為，即為拋物線的焦點時，四邊形是矩形.