Question

（2012•河南模擬）已知點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A、B是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心、|OF₁|為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F₂AB是正三角形，則此橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3

  2

• C．

  2

  -1
• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)A、B是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心、|OF₁|為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F₂AB是正三角形，確定|F₁A|=c，|F2A|=

3

c，再利用橢圓的定義可得結(jié)論．

解答：解：由題意，∵A、B是以O(shè)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心、|OF₁|為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個(gè)交點(diǎn)，
∴|OA|=|OB|=|OF₂|=c
∵△F₂AB是正三角形，
∴|F2A|=

3

c
∴|F₁A|=c，
∵|F₁A|+|F₂A|=2a
∴(1+

3

)c=2a
∴

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
故選A．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，考查橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題．