Question

對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合計	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）若該校高三學(xué)生有240人，試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；
（Ⅲ）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系即頻率等于頻數(shù)除以樣本容量，寫出算式，求出式子中的字母的值．
（II）根據(jù)該校高三學(xué)生有240人，分組[10，15）內(nèi)的頻率是0.25，估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人．
（III）這個樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有m+2=6人，設(shè)出在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人為a₁，a₂，a₃，a₄，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人為b₁，b₂，列舉出所有事件和滿足條件的事件，得到概率．

解答：解：（Ⅰ）由分組[10，15）內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，

10

M

=0.25，
∴M=40．
∵頻數(shù)之和為40，
∴10+24+m+2=40，m=4.p=

m

M

=

4

40

=0.10．
∵a是對應(yīng)分組[15，20）的頻率與組距的商，
∴a=

24

40×5

=0.12
（Ⅱ）因為該校高三學(xué)生有240人，分組[10，15）內(nèi)的頻率是0.25，
∴估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人．
（Ⅲ）這個樣本參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有m+2=6人，
設(shè)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的人為a₁，a₂，a₃，a₄，在區(qū)間[25，30）內(nèi)的人為b₁，b₂．
則任選2人共有（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），（a₂，a₄），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（b₁，b₂）15種情況，
而兩人都在[25，30）內(nèi)只能是（b₁，b₂）一種，
∴所求概率為P=1-

1

15

=

14

15

．

點評：本題考查頻率分步直方圖，考查用樣本估計總體，考查等可能事件的概率，考查頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系，本題是一個基礎(chǔ)題．