Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²的圖象過點(diǎn)P（-1，2），且在點(diǎn)P處的切線恰與直線x-3y=0垂直．則函數(shù)f（x）的解析式為________．

Answer 1

f（x）=x³+3x²
分析：由f（x）=ax³-bx²，知f′（-1）=3a+2b，由函數(shù)f（x）=ax³-bx²的圖象過點(diǎn)P（-1，2），且在點(diǎn)P處的切線恰與直線x-3y=0垂直，知，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．
解答：∵f（x）=ax³-bx²，
∴f′（x）=3ax²-2bx，
∴f′（-1）=3a+2b，
∵函數(shù)f（x）=ax³-bx²的圖象過點(diǎn)P（-1，2），
且在點(diǎn)P處的切線恰與直線x-3y=0垂直，
∴，
解得a=1，b=-3．
∴f（x）=x³+3x²．
故答案為：f（x）=x³+3x²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線垂直的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是基礎(chǔ)題．解題地要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．