Question

已知函數在區間（k+1，+∞）上存在極值．
（Ⅰ）求出實數k的取值范圍；
（Ⅱ）對于任意及滿足條件中的k值，不等式是否能恒成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對函數求導可得可得f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，從而可得函數f（x）在x=1處取得極大值．從而可得k+1＜1，可求
（Ⅱ）不等式即為 記，利用函數的導數可求函數g（x）的單調區間g（x）在上的最小值，只需g（x）_min≥k可求
解答：解：（Ⅰ）因為，x＞0，則，…（2分）
當0＜x＜1時，f^′（x＞0）；當x＞1時，f^′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，…（4分）
所以函數f（x）在x=1處取得極大值．則k+1＜1，得k＜0…（7分）
（Ⅱ）不等式即為 記，
則=   …（9分）
令h（x）=x-lnx，則，當x∈[1，e]時h′（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上單調遞增，
當時h′（x）＜0，∴h（x）在上單調遞減，[h（x）]_min=h（1）=1＞0則g^′（x）＞0，
故g（x）在上單調遞增，…（12分）
則，所以k≤0．…（14分）
由（Ⅰ）知k＜0，故對于任意及滿足條件中的k值，不等式恒成立．…（15分）
點評：本題主要考查了利用函數的導數求解函數的單調區間及函數的極值、最值，解題的關鍵是采用構造函數并結合函數的導數把函數的恒成立問題轉化為求函數的最值，屬于函數知識的綜合性考查．