Question

（06年山東卷文）（12分）

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程.

Answer 1

解析：設(shè)橢圓方程為

（Ⅰ）由已知得

∴所求橢圓方程為       .

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去y得關(guān)于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，

解得，又由韋達(dá)定理得

            

原點(diǎn)到直線的距離

.

解法1：對兩邊平方整理得：

（*）

∵，，整理得：

、又， ，從而的最大值為，

此時代入方程（*）得 

所以，所求直線方程為：.

解法2：令，則

，當(dāng)且僅當(dāng)即時，

，此時.

所以，所求直線方程為

解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.

設(shè)直線l的方程為，

則直線l與x軸的交點(diǎn)，

由解法一知且，

解法1：=

       .

下同解法一.

解法2：

下同解法一.