Question

【題目】已知函數，，，其中e為自然對數的底數．

求函數的單調區間；

求證：；

若恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）增區間為，減區間為； （2）見解析；（3）.

【解析】

（1）對求導，由導函數的符號來確定的單調區間；（2）構造新的函數，通過求導求得，得到所證明的結論；（3）采用分離變量的方式，得到，設，通過三次求導運算，得到的單調性，從而求得，則，得到取值范圍。

函數的導數為，

由，可得；由，可得；

即的單調遞增區間為，單調遞減減區間為；

證明：設，

可得，

當時，，，遞增；

當時，，，遞減；

可得的最小值為，

即有，即為，可得；

恒成立恒成立，

令，，

令，，

設，可得，當時，遞增，可得，

即有，即有，在遞增，，

而在上，；在遞減；

在上，在遞增，可得的最小值為，即，

綜上可得k的取值范圍是