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已知數列{an}滿足an+1=-an2+2an(n∈N*),且0<a1<1.
(1)用數學歸納法證明:0<an<1;
(2)若bn=lg(1-an),且,求無窮數列所有項的和.
【答案】分析:(1)要求用數學歸納法證明:按照兩個步驟進行,特別注意遞推即可.
(2)由an+1=-an2+2an和bn=lg(1-an)及,求得bn列進而求得,再取極限即可.
解答:(1)證明:①當n=1時,由條件知,成立
②假設n=k成立,即0<ak<1成立,
當n=k+1時,ak+1=-ak2+2ak=-(ak-1)2+1,
∵0<aK<1
∴0<(ak-1)2<1
∴0<-(ak-1)2+1<1
∴0<aK+1<1
這就是說,當=k+1時,0<ak<1也成立.
根據①②知,對任意n∈N*,不等式0<an<1恒成立.

(2)解:1-an+1=(1-an2,0<an<1;
lg(1-an+1)=lg(1-an2,,即lg(1-an+1)=2lg(1-an
即:bn+1=2bn
∴{bn}是以-1為首項,以2為公比的等比數列.
∴bn=-2n-1,∴
無究數列{}所有項的和為:
=)=[(-1)×]=-2×)=-2
點評:本題主要考查數學歸納法和等比數列的求法及無窮數學所有項的和的求法.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數列bn-1是等比數列;
(2)求數列{anbn}的前n項和Sn
(3)數列{an-bn}是否存在最大項,如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項公式
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)證明:對于一切正整數n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1

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