Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為

2

2

，且橢圓上的點到F的最大距離為

2

+1．
（I）求橢圓方程；
（II）如圖，過F作與x軸不重合的直線l交橢圓于A，B兩點，直線BO交橢圓于另一點C，求|AB|+|AC|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1

，及b²=a²-c²，解出即可；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為my=x+1，與橢圓的方程聯立可得根與系數，設AB的中點為M（x₀，y₀），則|AC|=2|MO|，
利用兩點間的距離公式和弦長公式可得|AC|+|AB|關于m的函數，利用導數研究其單調性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意知

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1

，
解得：a=

2

，c=1，∴b=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為my=x+1，
由 

my=x+1 x2 2 +y2=1

 得(m2+2)y2-2my-1=0，
∴y1+y2=

2m

m2+2

 ， y1y2=-

1

m2+2

．
設AB的中點為M（x₀，y₀），則|AC|=2|MO|，
∵y0=

y1+y2

2

=

m

m2+2

， x0=(my0-1)=-

2

m2+2

，
∴|AC|=2

x02+y02

=

2 m2+4

m2+2

，|AB|=|y1-y2|

1+m2

=

2 2 (1+m2)

m2+2

，
∴|AB|+|AC|=

2 2 (1+m2)

m2+2

+

2 m2+4

m2+2

=

2 2 (1+m2)+2 m2+4

m2+2

，
令f(m)=

2 2 (1+m2)

m2+2

+

2 m2+4

m2+2

=

2 2 (1+m2)+2 m2+4

m2+2

，
則f′(m)=

2m(2 2 m2+4 -m2-6)

(m2+2) m2+4

=

-2m( m2+4 - 2 )2

(m2+2) m2+4

，
∴當m＞0，f'（m）＜0；當m＜0，f'（m）＞0，
即f（m）在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞遞減．
∴f（m）在m=0處取得最大值．
∴f(m)＜f(0)=2+

2

．
又f(m)=

2 2 (1+m2)+2 m2+4

m2+2

=2

2

+

2 m2+4 -2 2

m2+2

＞2

2

，
∴f(m)∈(2

2

，2+

2

)．
即|AB|+|AC|的取值范圍是(2

2

，2+

2

)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、兩點間的距離公式、利用導數研究函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．