Question

(1)設△ABC的頂點A、B在平面α外,頂點C在平面α內,AB在平面α上的射影分別為A₁、B₁,AA₁＜BB₁,△ABC的邊BC上的高為AD,AD∥平面α,BC與α所成角為θ,求平面ABC與平面α所成角的大小;

(2)正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E是BC的中點,求平面B₁D₁E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.

Answer 1

(1)解析：過D作DE⊥B₁C于E,?

∵BB₁⊥面α,?∴面CBB₁⊥面α.?

∴DE⊥面α.∵AA₁⊥面α,?

∴AA₁∥DE.∴A、A₁、E、D四點共面.?

∴A₁E AD.∴A₁E⊥BC.?

∴A₁E⊥B₁C.?

∴S_△A1CB1=A₁E×B₁C?

=AD×BCcosθ.?

∵AA₁、BB₁均垂直面α,∴△A₁CB₁為△ABC在面α上的射影.?

∴設該二面角大小為β.?

∴cosβ==cosθ.∴α=θ.?

(2)解析：取B₁C₁中點E₁,連結EE₁,過E₁作E₁F⊥B₁D₁于F,連結EF.?

∵E為BC中點,E₁為B₁C₁中點,?

∴EE₁⊥面A₁B₁C₁D₁.?

∵面ABCD∥面A₁B₁C₁D₁,∴面B₁D₁E和面ABCD所成角等于面B₁D₁E與面A₁B₁C₁D₁所成角，設為α,并設該立方體邊長為a.?

∵△B₁E₁D₁為△B₁ED₁在面A₁B₁C₁D₁內的射影,∴|cosα|=.∴sinα=.