Question

【題目】已知函數．

（1）若，，求的值域；

（2）當時，求的最小值；

（3）是否存在實數、，同時滿足下列條件：① ；② 當的定義域為時，其值域為．若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3) 不存在滿足條件的實數、．見解析

【解析】

（1）設t＝3x，則φ（t）＝t2﹣2at+3＝（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的對稱軸為t＝a，當a＝1時，即可求出f（x）的值域；

（2）由函數φ（t）的對稱軸為t＝a，分類討論當a時，當a≤3時，當a＞3時，求出最小值，則h（a）的表達式可求；

（3）假設滿足題意的m，n存在，函數h（a）在（3，+∞）上是減函數，求出h（a）的定義域，值域，然后列出不等式組，求解與已知矛盾，即可得到結論．

（1）當時，由，得，

因為，所以，．

（2）令，因為，故，函數可化為

．

① 當時，；

② 當時，；

③ 當時，．

綜上，

（3）因為，為減函數，

所以在上的值域為，

又在上的值域為，所以， 即

兩式相減，得，

因為，所以，而由可得，矛盾．

所以，不存在滿足條件的實數、．