Question

設函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8（a∈R）在x=3處取得極值
（1）求常數a的值；
（2）求f（x）在R上的單調區間；
（3）求f（x）在[-4，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a因f（x）在x=3取得極值，由此能求出a．
（2）由（1）知f'（x）=6x²-24x+18=6（x-3）（x-1）=0得x₁=3，x₂=1．由此能求出f（x）在R上的單調區間．
（3）由（2）知f（x）在（-4，1）和（3，4）上單調增，（1，3）上單調減，由此能求出f（x）在[-4，4]上的最值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8（a∈R），
∴f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
因f（x）在x=3取得極值，
所以f'（3）=0．解得a=3．（3分）
經檢驗知當a=3時，x=3為f（x）為極值點．
故a=3．（2分）
（2）由（1）知f'（x）=6x²-24x+18=6（x-3）（x-1）=0，
得x₁=3，x₂=1．
故f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上單調增，
（1，3）上單調減．（5分）
（3）由（2）知f（x）在（-4，1）和（3，4）上單調增，（1，3）上單調減
又f（-4）=-384，
f（1）=f（4）=16，
f（3）=8，
∴f（x）在[-4，4]上的最大值為16，最小值為-384．（5分）

點評：本題考查求常數a的值，求f（x）在R上的單調區間，求f（x）在[-4，4]上的最值．解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱條件，合理地進行等價轉化．