Question

已知雙曲線的中心在原點且一個焦點是F（，0），直線y=x-1與其相交于M，N兩點．若MN的中點橫坐標為，則此雙曲線的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設出雙曲線的方程，然后與直線方程聯立方程組，經消元得二元一次方程，再根據韋達定理及MN中點的橫坐標可得a、b的一個方程，又雙曲線中有c2=a2+b2，則另得a、b的一個方程，最后解a、b的方程組即得雙曲線方程．
解答：解：設雙曲線方程為-=1．
將y=x-1代入 -=1，整理得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0．
由韋達定理得x₁+x₂=，則 ==-．
又c²=a²+b²=7，解得a²=2，b²=5，
所以雙曲線的方程是．
故答案為：．
點評：本題主要考查代數方法解決幾何問題，同時考查雙曲線的標準方程與性質等．