Question

如圖，S是正方形ABCD所在平面外一點，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=．
（1）求證：BC⊥SC；
（2）設M為棱SA中點，求異面直線DM與SB所成角的大小
（3）求面ASD與面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC．由SD⊥底面ABCD，知SD⊥BC，由此能夠證明BC⊥SC．
（2）取AB中點P，連接MP，DP．在△ABS中，由中位線定理得MP∥SB，知∠DMP或其補角為所求，由此能求出異面直線DM與SB所成的角．
（3）由SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，可把四棱錐S-ABCD補形為長方體A₁B₁C₁S-ABCD，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面BCSA₁所成的二面角，由此能求出面ASD與面BSC所成的二面角．
解答：（1）證明：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，
∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥SC．…（4分）
（2）解：取AB中點P，連接MP，DP．
在△ABS中，由中位線定理得MP∥SB，
∴∠DMP或其補角為所求．
∵，又，
∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²，∴∠DMP=90°，
即異面直線DM與SB所成的角為90°．…（8分）
（3）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，
∴可把四棱錐S-ABCD補形為長方體A₁B₁C₁S-ABCD，
如圖2，面ASD與面BSC所成的二面角就是面ADSA₁與面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S，∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD為所求二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，
在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1．
∴∠CSD=45°．即面ASD與面BSC所成的二面角為45°．…（12分）
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．