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已知函數(a>1),求證:
(1)函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數;
(2)方程f(x)=0沒有負數根.
【答案】分析:(1)證明函數的單調性,一個重要的基本的方法就是根據函數單調性的定義;
(2)對于否定性命題的證明,可用反證法,先假設方程f(x)=0有負數根,經過層層推理,最后推出一個矛盾的結論.
解答:證明:(1)設-1<x1<x2

=
∵-1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,

∵-1<x1<x2,且a>1,∴,∴
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數;
(2)假設x是方程f(x)=0的負數根,且x≠-1,則
,①
當-1<x<0時,0<x+1<1,∴
,而由a>1知.∴①式不成立;
當x<-1時,x+1<0,∴,∴,而
∴①式不成立.綜上所述,方程f(x)=0沒有負數根.
點評:(1)函數的單調性就是隨著x的變大,y在變大就是增函數,y變小就是減函數,具有這樣的性質就說函數具有單調性,符號表示:就是定義域內的任意取x1,x2,且x1<x2,比較f(x1),f(x2)的大小 (當f(x1)<f(x2)則是增函數,當f(x1)>f(x2)則是減函數);
(2)方程的根,就是指使方程成立的未知數的值.對于結論是否定形式的命題,往往反證法證明.
練習冊系列答案
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已知函數y=a(x+1)2-1+b(a、b是常數且a>1),當x∈[-
3
2
,0]時有ymax=3,ymin=
5
2
,試求a和b的值.

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(本小題滿分12分)

已知函數=(a>1) .

(1)求的定義域、值域,并判斷的單調性;

(2)解不等式

 

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,0]時有ymax=3,ymin=
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,試求a和b的值.

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(1)函數f(x)在(-1,+∞)上為增函數;
(2)方程f(x)=0沒有負數根.

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科目:高中數學 來源:甘肅省蘭州一中2011-2012學年高三9月月考試題數學文 題型:解答題

 

已知函數=a>1) .

   (1)求的定義域、值域,并判斷的單調性;

   (2)解不等式

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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