Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x）；又當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，則方程f(x)=-

1

2

的解集為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x）求出函數(shù)的周期性，以及-1≤x≤0時的解析式，然后求出在[-1，1]上滿足方程f(x)=-

1

2

的解，最后根據(jù)周期性即可求出所求．

解答：解：∵f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）則T=4
∵當(dāng)0≤x≤1時，f(x)=

1

2

x，f（x）是奇函數(shù)
∴當(dāng)-1≤x≤0時，f(x)=

1

2

x，
令

1

2

x=-

1

2

解得：x=-1
而函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)
∴方程f(x)=-

1

2

的解集為{x|x=4k-1，k∈Z}
故答案為：{x|x=4k-1，k∈Z}

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和遞推關(guān)系，這類題往往是奇偶性和周期性結(jié)合來轉(zhuǎn)化求值區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．