Question

已知函數f（x）=ln（ax+1）+

2

x+1

-1（x≥0，a＞0）．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若a=1且b＜0，函數g(x)=

1

3

bx3-bx，若對于?x₁∈（0，1），總存在x₂∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用（x）在x=1處取得極值，可得f′（1）=0，從而可求a的值；
（2）求導函數，分類討論，利用導數的正負，即可求f（x）的單調區間；
（3）分別求出f（x），g（x）的值域，利用值域之間的包含關系，即可得到結論．

解答：解：（1）求導函數，可得f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

∵若f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=0，
∴2a-2=0，∴a=1；
（2）∵f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(x+1)2

（a＞0，x≥0）
若a≥2，x≥0，則f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
若0＜a＜2，令f′（x）=0，可得x=

2-a a

或-

2-a a

（舍去）

x	(0， 2-a a )	2-a a	（ 2-a a ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減		增

∴f（x）在(0，

2-a a

)上是減函數，在（

2-a a

，+∞）上是增函數；
（3）a=1，由（2）得f（x）在（0，1）上是減函數，
∴ln2＜f（x）＜1，即f（x）的值域A=（ln2，1），
又g′（x）=b（x-1）（x+1）
∵b＜0，∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）上單調遞增
∴g（x）的值域B=（0，-

2

3

b）
∵?x₁∈（0，1），總存在x₂∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₂），
∴A⊆B
∴-

2

3

b≥1
∴b≤-

3

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，正確轉化是關鍵．