Question

已知雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，離心率e=

5

2

，頂點到漸近線的距離為

2 5

5

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線相交于A，B兩點，且AB中點坐標為(1，

1

4

)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取頂點A（a，0），漸近線y=

b

a

x，利用點到直線的距離公式可得

ab

c

=

2 5

5

．聯立

e= c a = 5 2 c2=a2+b2 ab c = 2 5 5

，解得即可；
（2）直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線的方程聯立化為（1-4k²）x²-8kmx-4m²-4=0，由于直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且AB中點坐標為(1，

1

4

)，可得1-4k²≠0，△＞0，利用根與系數的關系和中點坐標公式即可得出k，進而得出m的取值范圍．

解答：解：（1）取頂點A（a，0），漸近線y=

b

a

x，即bx-ay=0，則

ab

a2+b2

=

2 5

5

，化為

ab

c

=

2 5

5

．
聯立

e= c a = 5 2 c2=a2+b2 ab c = 2 5 5

，解得a=2，c=

5

，b=1．
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-y2=1．
（2）直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線的方程聯立

y=kx+m x2 4 -y2=1

，
化為（1-4k²）x²-8kmx-4m²-4=0，
∵直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，且AB中點坐標為(1，

1

4

)，
∴1-4k²≠0，△=64k²m²-4（1-4k²）（-4m²-4）＞0，
化為m²＞4k²-1．（*）
∴x1+x2=

8km

1-4k2

，∴

1= 4km 1-4k2 1 4 =k+m

，解得k=1．
代入（*）可得m²＞4-1=3，解得m＞

3

，或m＜-

3

．
∴m的取值范圍為(-∞，-

3

)∪(

3

，+∞)．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、直線與雙曲線相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及根與系數的關系、中點坐標公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．