Question

已知三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，側棱長都相等，半徑為2的球O過三棱錐P-ABC的四個頂點，則PA=

2或2

3

．

Answer 1

分析：設P在底面的射影是E，延長AE交BC于D，連接PD、OA、OB、OC．因為△ABC是等邊三角形且側棱長都相等，所以三棱錐P-ABC是正三棱錐，因此Rt△AOE中算出OE=1，再在Rt△PAE中，運用勾股定理即可算出PA的長度．

解答：解：根據題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設P在底面的射影是E
延長AE交BC于D，連接PD、OA、OB、OC
∵，△ABC是邊長為3的等邊三角形，
∴AE=

3

3

AB=

3

，DE=

3

6

∵半徑為2的球O過三棱錐P-ABC的四個頂點，
∴球心O在PE上，設OE=x
則AO=

AE2+OE2

=2，得（

3

）²+x²=4，解得x=1（舍負）
∴PE=PO±OE=1或3
因此，Rt△PAE中，PA=

AE2+PE2

=2或2

3

故答案為：2或2

3

點評：本題給出正三棱錐的底面邊長為3，求外接球半徑為2時側棱的長，著重考查了正棱錐的性質和球內接多面體的計算等知識，屬于中檔題．