Question

已知數列{a_n}的奇數項是公差為d₁的等差數列，偶數項是公差為d₂的等差數列，S_n是數列{a_n}的前n項和，a₁=1，a₂=2．
（1）若S₅=16，a₄=a₅，求a₁₀；
（2）已知S₁₅=15a₈，且對任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1恒成立，求證：數列{a_n}是等差數列；
（3）若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整數m、n（m≠n），使得a_m=a_n．求當d₁最大時，數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

（1）解：根據題意，有a₁=1，a₂=2，a₃=a₁+d₁=1+d₁，a₄=a₂+d₂=2+d₂，a₅=a₃+d₁=1+2d₁
∵S₅=16，a₄=a₅，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=7+3d₁+d₂=16，2+d₂=1+2d₁
∴d₁=2，d₂=3．
∴a₁₀=2+4d₂=14
（2）證明：當n為偶數時，∵a_n＜a_n+1恒成立，∴2+，
∴（d₂-d₁）+1-d₂＜0
∴d₂-d₁≤0且d₂＞1
當n為奇數時，∵a_n＜a_n+1恒成立，∴，
∴（1-n）（d₁-d₂）+2＞0
∴d₁-d₂≤0
∴d₁=d₂
∵S₁₅=15a₈，∴8++14+=30+45d₂
∴d₁=d₂=2
∴a_n=n
∴數列{a_n}是等差數列；
（3）解：若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整數m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一個是奇數，一個是偶數
不妨設m為奇數，n為偶數
∵a_m=a_n，∴
∵d₁=3d₂，∴
∵m為奇數，n為偶數，∴3m-n-1的最小正值為2，此時d₁=3，d₂=1
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=．
分析：（1）確定數列的前5項，利用S₅=16，a₄=a₅，建立方程，求出d₁=2，d₂=3，從而可求a₁₀；
（2）先證明d₁=d₂，再利用S₁₅=15a₈，求得d₁=d₂=2，從而可證數列{a_n}是等差數列；
（3）若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整數m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一個是奇數，一個是偶數．不妨設m為奇數，n為偶數，利用a_m=a_n，及d₁=3d₂，可得，從而可求當d₁最大時，數列{a_n}的通項公式．
點評：本題考查數列的通項，考查數列的求和，考查學生分析解決問題的能力，確定數列的通項是關鍵．