Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜．
（1）當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，證明x＜f （x）＜x₁；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=x對(duì)稱，證明x＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x₁，x₂，所以構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)推出x＜f （x），然后作差
x₁-f（x），化簡(jiǎn)分析出f（x）＜x₁，即可．
（2）．方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x₁，x₂，函數(shù)f（x）的圖象，關(guān)于直線x=x對(duì)稱，利用放縮法推出x＜；
解答：證明：（Ⅰ）令F（x）=f（x）-x．因?yàn)閤₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
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所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
（Ⅱ）依題意知
因?yàn)閤₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程ax²+（b-1）x+c=0的根．
∴，
因?yàn)閍x₂＜1，所以．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查一元二次方程、二次函數(shù)和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．