Question

若數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，則數列{a_n}的前60項和為

60

61

．

Answer 1

分析：根據n≥2時a_n=S_n-S_n-1，算出（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，得到

an

an-1

=

n-1

n+1

．用累乘的方法算出當n≥2時，a_n=

1

n(n+1)

，且n=1時也符合條件．由此可得{a_n}的前n項和為和為S_n的表達式，從而得到{a_n}的前60項和的值．

解答：解：∵數列{a_n}的前n項的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
當n≥2時，S_n-1=（n-1）²a_n-1，兩式相減得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，故

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

an

a1

=

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

2

n(n+1)

結合a₁=

1

2

，可得a_n=

1

n(n+1)

當n=1時，也滿足上式，故a_n=

1

n(n+1)

對任意n∈N₊成立，
可得a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
因此，數列數列{a_n}的前n項和為S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴{a_n}的前60項和為

60

61

故答案為：

60

61

點評：本題給出數列{a_n}的前項和S_n與a_n的表達式，求{a_n}的前60項和．著重考查了等差數列的通項公式、數列前n項和S_n與a_n的關系等知識，屬于中檔題．