Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π，tan

α

2

=

1

2

，cos(α-β)=

2

10

，
（1）求sinα的值；
（2）求β的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式求出tanα，利用同角三角函數的基本關系求出 sin α 的值．
（2）根據角的范圍求出sin（α-β），可得tan（α-β）的值，進而求得tanβ 的值，根據 β范圍求出 β 的大小．

解答：解：（1）∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，tan

α

2

=

1

2

，cos(α-β)=

2

10

，
∴tanα=

2tanα

1-tan2α

=

4

3

．∵tanα=

sinα

cosα

，sin²α+cos²α=1，
∴sin α=

4

5

，cos α=

3

5

．
（2）∵cos(α-β)=

2

10

，0＜α＜

π

2

＜β，∴sin（α-β）=-

7 2

10

，
∴tan（α-β）=

sin(α-β)

cos(α-β)

=-7=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

4 3 -tanβ

1+ 4 3 tanβ

，
∴tanβ=-1，∴β=

3π

4

．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，誘導公式的應用，兩角和差的三角公式的應用，要特別注意三角函數值的符號．