Question

已知函數f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．設關于x的不等式f（x）＞0的解集為（x₁，x₂），且方程f（x）=x的兩實根為α，β．
（1）若|α-β|=1，求a，b的關系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求證：（x₁+1）（x₂+1）＜7．

Answer 1

分析：（1）要求a，b的關系式，可根據方程f（x）=x的兩實根為α，β．結合韋達定理（根與系數的關系），用a，b表示α，β．又則|α-β|=1，給出a，b的關系，但在分析過程中，要注意方程有兩個不相等的根時，方程的判別式大于零．
（2）由α＜1＜β＜2，我們可以根據零點的存在定理，我們可以得到f（1），f（2）異號，代入可以構造一個關于a，b的不等式組，畫出他們表示的平面區域，利用線性規劃不難得到結論．

解答：解：（1）由f（x）=x，
得ax²+3x+b=0，
由已知得9-4ab＞0，
∴α+β=-

3

a

，αβ=+

b

a

∴|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=1，
∴

9

a2

-

4b

a

=1．
∴a²+4ab=9，
∴a、b的關系式為a²+4ab=9．
（2）令g（x）=ax²+3x+b，
又a＜0，α＜1＜β＜2．
∴

g(1)＞0 g(2)＜0

，
即

g(1)=a+b+3＞0 g(2)=4a+b+6＜0

又x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的兩根，
∴x1+x2=-

4

a

，x1x2=

b

a

．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=

b

a

-

4

a

+1=

b-4

a

+1
由線性約束條件

a+b+3＞0 4a+b+6＜0 a＜0.

，畫圖可知．

b-4

a

的取值范圍為（-4，6），
∴-3＜

b-4

a

+1＜6+1=7．
∴（x₁+1）（x₂+1）＜7．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．