Question

（2012•許昌三模）在某醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某實(shí)驗(yàn)小組為了分析某種藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系，選取六只實(shí)驗(yàn)動(dòng)物進(jìn)行血檢，得到如下資料：

動(dòng)物編號(hào)	1	2	3	4	5	6
用藥量x（單位）	1	3	4	5	6	8
抗體指標(biāo)y （單位）	3.4	3.7	3.8	4.0	4.2	4.3

記s為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差，若抗體指標(biāo)落在（

.

y

-s，

.

y

+s）內(nèi)則稱該動(dòng)物為有效動(dòng)物，否則稱為無(wú)效動(dòng)物．研究方案規(guī)定先從六只動(dòng)物中選取兩只，用剩下的四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的兩只動(dòng)物數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．
（Ⅰ）設(shè)選取的兩只動(dòng)物中有效動(dòng)物的只數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與期望；
（Ⅱ）若選取的是編號(hào)為1和6的兩只動(dòng)物，且利用剩余四只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程為

y

=0.17x+a，試求出a的值；
（Ⅲ）若根據(jù)回歸方程估計(jì)出的1號(hào)和6號(hào)動(dòng)物的抗體指標(biāo)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)結(jié)果誤差都不超過(guò)抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試判斷（Ⅱ）中所得線性回歸方程是否可靠．

Answer 1

分析：（Ⅰ）ξ的可能取值有0，1，2，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）根據(jù)表格資料，可得對(duì)于2、3、4、5號(hào)動(dòng)物，將

.

x

=4.5，

.

y

=3.925代入求出y關(guān)于x的線性回歸方程即得a值；
（Ⅲ）由（II）得

?

y

₁=3.33，

?

y

₆=4.52，從而得到誤差e₁=0.07，e₆=0.22均比標(biāo)準(zhǔn)差s≈0.31小，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）

.

y

=3.9，s≈0.31．故1、6號(hào)為無(wú)效動(dòng)物，2、3、4、5號(hào)為有效動(dòng)物----（2分）
所以隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2
記從六只動(dòng)物中選取兩只所有可能結(jié)果共有

C

2 6

=15種．
P(ξ=0)=

1

15

P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 4

15

=

8

15

P(ξ=2)=

C 2 4

15

=

6

15

----（5分）
分別列為

ξ	0	1	2
P	1 15	8 15	2 5

期望E(ξ)=0×

1

15

+1×

8

15

+2×

2

5

=

4

3

---（6分）
（Ⅱ）對(duì)于2、3、4、5號(hào)動(dòng)物，

.

x

=4.5，

.

y

=3.925代入

y

=0.17x+a得a=3.16．----（8分）
（Ⅲ）由

y

=0.17x+3.16得

?

y

₁=3.33，

?

y

₆=4.52．----（10分）
誤差e₁=0.07，e₆=0.22均比標(biāo)準(zhǔn)差s≈0.31小，故（Ⅱ）中回歸方程可靠．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立性檢本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀與計(jì)算能力，屬于中檔題．