Question

【題目】某顏料公司生產A，B兩種產品，其中生產每噸A產品，需要甲染料1噸，乙染料4噸，丙染料2噸，生產每噸B產品，需要甲染料1噸，乙染料0噸，丙染料5噸，且該公司一天之內甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸，160噸和200噸，如果A產品的利潤為300元/噸，B產品的利潤為200元/噸，設公司計劃一天內安排生產A產品x噸，B產品y噸.

（I）用x，y列出滿足條件的數學關系式，并在下面的坐標系中畫出相應的平面區域；

（II）該公司每天需生產A，B產品各多少噸可獲得最大利潤，最大利潤是多少?

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）該公司每天需生產甲產品40噸，乙產品10噸可獲得最大利潤，最大利潤為14000元.

【解析】分析：（Ⅰ）由題意得到變量x，y滿足的條件即可得到所求，然后在坐標系內畫出圖形即可．（Ⅱ）由題意的利潤z=300x+200y，然后據線性規劃的有關知識解題可得所求．

詳解：（I）設該公司一天安排生產甲產品x噸，乙產品y噸，則x，y滿足條件的數學關系式為 ．

畫出該二元一次不等式組表示的平面區域(可行域)如下圖所示．

（II）設利潤為z元，由題意得z=300x+200y，

可得，

平移直線，結合圖形可得當直線經過可行域上的點A時，截距最大，此時z頁最大．

解方程組得，即 ．

∴=300x+200y=14000．

答：該公司每天需生產甲產品40噸，乙產品10噸時可獲得最大利潤，且最大利潤為14000元．