Question

已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2ⁿa_n（n∈N⁺），求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設F_n=（4n-5）•2ⁿ⁺¹，試比較F_n與T_n的大小．

Answer 1

分析：（1）依題意可得到關于等差數列的首項與公差的方程組，解之即可；
（2）利用錯位相減法即可求得數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）將F_n與T_n作差，根據結果對n分類討論即可得到答案．

解答：解：（1）由已知可得

(a1+d)(a1+2d)=45 2a1+3d=14

（d＞0）解得：

a1=1 d=4

．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
（2）∵b_n=2ⁿa_n=（4n-3）•2ⁿ，
∴T_n=1•2¹+5•2²+9•2³+…+（4n-7）•2^n-1+（4n-3）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+5•2³+…+（4n-11）•2^n-1+（4n-7）•2ⁿ+（4n-3）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-T_n=2+4（2²+2³+…+2ⁿ）-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=2+4•

22(1-2n-1)

1-2

-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=2+4•2ⁿ⁺¹-16-（4n-3）•2ⁿ⁺¹
=-（4n-7）•2ⁿ⁺¹-14
∴T_n=（4n-7）•2ⁿ⁺¹+14…（9分）
（3）∵F_n-T_n=（4n-5）•2ⁿ⁺¹-（4n-7）•2ⁿ⁺¹-14=2ⁿ⁺²-14，
∴當n≥2時，2ⁿ⁺²≥2⁴=16＞14，即2ⁿ⁺¹-14＞0，故F_n＞T_n；
當n=1時，2ⁿ⁺²=2³=8＜14，即2ⁿ⁺¹-14＜0，故F_n＜T_n．
綜上所述，當n=1時，F_n＜T_n；當n≥2時，F_n＞T_n…（13分）

點評：本題考查等差數列的通項公式，考查數列的求和，著重考查錯位相減法的應用，考查方程思想與分類討論思想的綜合應用，屬于難題．