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設M是正四面體ABCD的高線AH上一點，連接MB、MC，若∠BMC=90°，則
AM
MH
的值為（　�。�
分析：設正四面體的棱長為a，MH=x，則 BH=
2
3
×
3
2
a，故有 MC2=MB2=MH2+BH2=x2+
1
3
a2，再由MB2+MC2=BC2，得 2（x2+
1
3
a2）=a2，解得x的值，根據AH的值求得
AM
MH
的值．
解答：解：設正四面體的棱長為a，MH=x，則 BH=
2
3
×
3
2
a，故有 MC2=MB2=MH2+BH2=x2+
1
3
a2，
在Rt△BMC中，由MB2+MC2=BC2，得 2（x2+
1
3
a2）=a2，解得x=
6
6
a．
再由AH=
AB2-BH2
=
a2-
a2
3
=
6
3
a，
∴AM=MH=
1
2
AH，即
AM
MH
=1．
故選 D．
點評：本題主要考查棱錐的結構特征，求出BH=
2
3
×
3
2
a，AH=
6
3
a，是解題的關鍵，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給出以下5個命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設A、B為兩個定點，n為常數，|
PA
|-|
PB
|=n，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點，延長F1P到點M，使|F2P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內兩定點，平面內一動點P滿足向量
AB
與
AP
夾角為銳角θ，且滿足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為
 
．

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科目：高中數學 來源：2014屆廣東實驗中學高二上學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點, 截面DEF∥底面ABC, 且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)

（1）求證：P-ABC為正四面體；

（2）棱PA上是否存在一點M，使得BM與面ABC所成的角為45°？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由。

（3）設棱臺DEF-ABC的體積為V=, 是否存在體積為V且各棱長均相等的平行六面體,使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和，并且該平行六面體的一條側棱與底面兩條棱所成的角均為60°? 若存在,請具體構造出這樣的一個平行六面體,并給出證明；若不存在,請說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年四川省攀枝花七中高三（下）開學數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

給出以下5個命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設A、B為兩個定點，n為常數，，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點，延長F1P到點M，使|F2P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內兩定點，平面內一動點P滿足向量與夾角為銳角θ，且滿足 ，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為    ．

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