Question

已知函數f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2時有極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行．
（I）求a、b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（I）利用函數取得極值的必要條件和導數的幾何意義可得f′（2）=0，f′（1）=-3，解出a，b并驗證即可；
（II）分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出其單調區間．

解答：解：（I）∵f （x ）=x² （ax+b ）=ax³+bx²，
∴f'（x ）=3ax²+2bx，
∵函數f （x ）在x=2時有極值，
∴f'（2 ）=0，即 12a+4b=0，①
∵函數f （x ）的圖象在點（1，f （1 ））處的切線與直線3x+y=0平行．
∴f'（1 ）=-3，即3a+2b=-3，②
由①②解得，a=1，b=-3．
經驗證滿足題意，∴a=1，b=-3．
（II）f'（x ）=3x²-6x=3x （x-2），令3x （x-2）＞0，
解得：x＜0或x＞2，
令3x （x-2）＜0，解得：0＜x＜2．
∴函數f （x ）的單調遞增區間為（-∞，0）和（2，+∞），單調遞減區間為（0，2）．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值及其幾何意義等是解題的關鍵．