Question

已知函數f(x)=4sinxcosx-2

3

cos2x+1，且給定條件p：“

π

4

≤x≤

π

2

”．
（1）求f（x）在給定條件p下的最大值及最小值；
（2）若又給條件q：“|f（x）-m|＜2“，且p是q的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據二倍角公式和輔助角公式進行化簡，再由x的范圍求出2x-

π

3

的范圍，再結合正弦函數的性質可求出其最大、最小值．
（2）先根據|f（x）-m|＜2求出f（x）的范圍，再由p是q的充分條件和（1）中f（x）的最大、最小值可得到m的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin2x-2

3

cos2x+1
=4sin（2x-

π

3

）+1．
又∵

π

4

≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即3≤4sin（2x-

π

3

）+1≤5
∴f（x）_max=5，f（x）_min=3
（2）∵|f（x）-m|＜2，
∴m-2＜f（x）＜m+2
又p是q的充分不必要條件
∴

m-2＜3 m+2＞5

，
∴3＜m＜5．
∴m的取值范圍為（3，5）

點評：本題主要考查兩角和與差的公式的逆用和正弦函數的性質，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．