Question

給出下列四個命題：
①已知點到直線的距離為1；
②若f'（x）=0，則函數y=f（x）在x=x取得極值；
③m≥-1，則函數的值域為R；
④在極坐標系中，點到直線的距離是2．
其中真命題是    （把你認為正確的命題序號都填在橫線上）

Answer 1

【答案】分析：①先利用微積分基本定理求定積分的值，得a值，再利用點到直線的距離公式計算距離即可判斷；②舉反例即可判斷其為假命題；③當對數函數的真數能取遍一切正數時，其值域為R，據此即可判斷；④先將極坐標化為直角坐標，將極坐標方程化為直角坐標方程，再利用點到直線的距離公式即可作出判斷
解答：解：①∵a=∫_πsinxdx，a=∫^πsinxdx=-cosx|^π=-cosπ+cos0=2
∴到直線的距離為d==1，故①為真命題
②例如f（x）=x³，f′（0）=0，但在x=0不取極值，故②為假命題
③若m≥-1，則二次函數y=x²-2x-m的判別式△=4+4m≥0，其函數值可取遍一切正數，故函數的值域為R，③為真命題
④將極坐標化為直角坐標，即點P（2cos，2sin），即P（1，），直線即ρsinθcos-ρcosθsin=3化為直角坐標方程為y-x=3
∴點P（1，）到直線y-x=3的距離為d==2，故④為真命題
故答案為①③④
點評：本題綜合考察了定積分的求法，點到直線的距離公式，函數極值的意義，對數函數的值域，極坐標與直角坐標的互化等基礎知識