Question

定義在R上的函數偶函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），且x∈[0，1]時，f（x）=1-x²；函數g(x)=

lgx，(x＞0) - 1 x ，(x＜0)

，則函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-5，5]內的零點的個數是（　　）

A．8

B．10

C．7

D．5

Answer 1

分析：已知函數偶函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），可知f（x）關于x=1對稱，且x∈[0，1]時，f（x）=1-x²，根據偶函數的性質畫出f（x）的圖象，根據分段函數g(x)=

lgx，(x＞0) - 1 x ，(x＜0)

，畫出g（x）的圖象，利用數形結合的方法求出函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-5，5]內的零點個數；

解答：解：在R上的函數偶函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），f（x）關于x=1對稱，
x∈[0，1]時，f（x）=1-x²又函數g(x)=

lgx，(x＞0) - 1 x ，(x＜0)

，
函數h（x）=f（x）-g（x）在區間[-5，5]內的零點的個數，即為f（x）=g（x）時的交點，
畫出f（x）和g（x）的圖象，

由上圖可知f（x）與g（x）有8個交點，
∴h（x）在區間[-5，5]內的零點的個數為8個，
故選A；

點評：此題主要考查偶函數的性質，以及零點定理的應用，解題的過程中用到了數形結合的方法，這也是高考常考的熱點問題，此題是一道中檔題；