Question

（2012•貴州模擬）在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，角A的平分線交BC于E點．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）設(shè)線段AE與EC長度分別為m、n，求

m

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知的三邊長代入求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由由AE為∠BAC的平分線，根據(jù)∠BAC的度數(shù)求出∠CAE的度數(shù)，在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosC，將三邊長代入求出cosC的值，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，在三角形ACE中，由AE=m，EC=n，sinC及sin∠CAE的值，利用正弦定理即可求出m與n的比值．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=c=3，AC=b=5，BC=a=7，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

32+52-72

2×3×5

=-

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=

2π

3

；
（Ⅱ）由AE為∠BAC的平分線及（1）知：∠CAE=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

13

14

，
∴sinC=

1-cos2C

=

3 3

14

，
在△CAE中，由正弦定理得：

m

n

=

sinC

sin π 3

=

3

7

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．