Question

已知函數f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α為第二象限角，且f(α+

π

6

)=

1

3

，求

1-cos2a

sin2a

的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為

3

sinx-(1+cosx)=2sin(x-

π

6

)-1，可得f（x）的最小正周期和它的值域．
（2）由條件求得sinα=

2

3

，再由α為第二象限角，可得cosα 和tanα 的值，再由

1-cos2a

sin2a

=

2sin2a

2sina•cosa

=tana，從而求得結果．

解答：解：（1）函數f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

-1=

3

sinx-(1+cosx)=2sin(x-

π

6

)-1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π，值域[-3，1]．
（2）∵f(α+

π

6

)=2sinα-1=

1

3

，∴sinα=

2

3

，再由α為第二象限角，可得cosα=-

5

3

，tanα=

sinα

cosα

=-

2 5

5

，
∴

1-cos2a

sin2a

=

2sin2a

2sina•cosa

=tana=-

2 5

5

．

點評：本題主要考查三角函數性質及簡單的三角變換，要求學生能正確運用三角函數的概念和公式對已知的三角函數進行化簡求值，屬于中檔題．