Question

（本小題共15分）如圖直角中，，，，點在邊上，橢圓以為焦點且經過．現以線段所在直線為軸，其中中點為坐標原點建立直角坐標系．

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓內的一定點，點是橢圓上的一動點.求的最值.

（3）設橢圓分別與正半軸交于兩點，且與橢圓相交于兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

（本小題共15分）

解：（1）設橢圓的方程為

由題意可得：

又

根據勾股定理可得：在中，

，

橢圓的方程為  …………………………5分

（2）根據（1）可知：為橢圓的焦點，則

而，即

最大值為；最小值為.  …………………………10分

（3）由（1）可知

將直線方程代入橢圓方程

關于坐標原點對稱

根據點到直線的距離公式可得：

點到直線的距離為

同理可得：點到直線的距離為

所以，四邊形的面積

即

   

   

    .

當且僅當即時取得等號成立.

.  …………………………15分