Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁₌a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）當a=2時，寫出a₁，a₂，a₃．
（2）設b_n=Sn-3n，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，代入計算可得結論；
（2）根據a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n-3ⁿ，因此可得數列{b_n}是等比數列，利用等比數列通項公式的求法，即可確定結論．

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴a₂=2+3=5，a₃=2+5+9=16；
（2）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ
∵b_n=Sn-3n，
∴

bn+1

bn

=

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=2
∴{b_n}為等比數列，公比為2．
又a≠3，∴b₁=S₁-3=a-3≠0，
∴b_n=（a-3）•2^n-1．

點評：本題中用構造法求數列的通項，是遞推關系知道的情況下求數列通項的常用方法，屬于中檔題．