Question

設函數，曲線在點處的切線方程為。（1）求的解析式；（2）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值。

Answer 1

解：

（Ⅰ）方程可化為．

當時，．

又，

于是解得

故．

（Ⅱ）設為曲線上任一點，由知曲線在點處的切線方程為

，

即．

令得，從而得切線與直線的交點坐標為．

令得，從而得切線與直線的交點坐標為．

所以點處的切線與直線，所圍成的三角形面積為

．

故曲線上任一點處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為定值，此定值為．