Question

已知平面直角坐標系中△ABC頂點的分別為A(m，

3

m)，B（0，0），C（c，0），其中c＞0．
（1）若c=4m，求sin∠A的值；
（2）若AC=2

3

，B=

π

3

，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析：（1）先表示出

AB

，

AC

，再由c=4m代入到

AC

中，再由向量的夾角公式可求得其余弦值等于0，進而可得到sin∠A的值．
（2）先根據B的值確定A的范圍，再用正弦定理表示出BC、AB的長度進而可表示出三角形的周長，最后根據兩角和與差的公式化簡，根據正弦函數的性質可求得最大值．

解答：解：（1）

AB

=(-m，-

3

m)，

AC

=(c-m，-

3

m)，
若c=4m，則

AC

═(3m，-

3

m)，
∴cos∠A=cos＜

AC

，

AB

＞=

-3m2+3m2

2m×2 3 m

=0，
∴sin∠A=1；
（2）△ABC的內角和A+B+C=π，
由B=

π

3

，A＞0，C＞0
得0＜A＜

2π

3

．
應用正弦定理，知：BC=

AC

sinB

sinA=

2 3

sin π 3

sinA=4sinA，AB=

AC

sinB

sinC=4sin(

2π

3

-A)．
因為y=AB+BC+AC，
所以y=4sinA+4sin(

2π

3

-A)+2

3

(0＜A＜

2π

3

)，
因為y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

=4

3

sin(A+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

)，
所以，當A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，y取得最大值6

3

．

點評：本題主要考查向量夾角的求法和兩角和與差的公式、正弦定理的應用．考查基礎知識的綜合應用和計算能力．三角函數的公式比較多，不容易掌握，一定要在平時就注意積累，這樣到考試時才不會手忙腳亂．