Question

國家推行“節能減排，低碳經濟”政策后，某環保節能設備生產企業的產品供不應求．若該企業的某種環保設備每月的產量保持在一定的范圍，每套產品的生產成本不高于50萬元，每套產品的售價不低于90萬元．已知這種設備的月產量x（套）與每套的售價y₁（萬元）之間滿足關系式y₁=170-2x，月產量x（套）與生產總成本y₂（萬元）存在如圖所示的函數關系．
（1）直接寫出y₂與x之間的函數關系式；
（2）求月產量x的范圍；
（3）當月產量x（套）為多少時，這種設備的利潤W（萬元）最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設函數關系式為y₂=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；
（2）根據題中條件“每套產品的生產成本不高于50萬元，每套產品的售價不低于90萬元”列出不等式組求解月產量x的范圍；
（3）根據等量關系“設備的利潤=每臺的售價×月產量-生產總成本”列出函數關系式求得最大值．

解答：解：（1）設函數關系式為y₂=kx+b，把坐標（30，1400）（40，1700）代入，

30k+b=1400 40k+b=1700

解得：

k=30 b=500

∴函數關系式y₂=30x+500
（2）依題意得：

500+30x≤50x 170-2x≥90

解得：25≤x≤40
（3）∵W=x•y₁-y₂=x（170-2x）-（500+30x）=-2x²+140x-500
∴W=-2（x-35）²+1950
∵25＜35＜40，
∴當x=35時，W_最大=1950
答：當月產量為35件時，利潤最大，最大利潤是1950萬元．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用、函數關系式及其最大值的求解，同時還有自變量取值范圍的求解．