Question

設函數f（x）的定義域為[-1，1]，f[cos(α+

π

30

)]=tcos(2α+

π

15

)+sin(α+

π

5

)+cos(α+

11π

30

)
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零點；
（2）記h（t），g（t）分別是f（x）的最大值、最小值，求函數F（t）=h（t）-g（t）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據cos

π

2

=0得出α=

7π

15

，然后代入函數中，再由特殊角的三角函數值求出結果，然后化簡得出f[cos（α+

π

30

）]=2cos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-1，再 令x=cos（a+

π

30

）得出f（x）=2x²+x-1，即可求出零點．
（2）討論開口方向和對稱軸與區間[-1，1]的位置關系，根據函數的單調性求出函數的最值，從而求出函數F（t）的解析式．

解答：解：（1）令α=

7π

15

∴f（cos

π

2

）=tcosπ+sin（

2

3

π）+cos（

5

6

π）=-t=-1
∴t=1
∴f[cos（α+

π

30

）]=cos（2a+

π

15

）+sin（α+

π

5

）+cos（a+

11π

30

）
=cos2（a+

π

30

）+sin[（a+

π

30

）+

π

6

]+cos[（a+

π

30

）+

π

3

]
=2cos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-1
  令x=cos（a+

π

30

）
∴f（x）=2x²+x-1
∵-1≤x≤1
∴x₁=-1 x₂=

1

2

（2）f[cos（α+

π

30

）]=tcos（2a+

π

15

）+sin（α+

π

5

）+cos（a+

11π

30

）
=tcos2（a+

π

30

）+sin[（a+

π

30

）+

π

6

]+cos[（a+

π

30

）+

π

3

]
=2tcos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-t 
  令x=cos（a+

π

30

）
∴f（x）=2tx²+x-t    x∈[-1，1]，
當t＞0時，函數f（x）開口向上
-

1

4t

≤-1時即0＜t≤

1

4

，函數在[-1，1]上為增函數，最大值為h（t）=t+1，最小值為g（t）=t-1
-1＜-

1

4t

＜1時即t＞

1

4

，函數在[-1，-

1

4t

]上為減函數，在[-

1

4t

，1]上為增函數，最大值為h（t）=t+1，最小值為g（t）=

-8t2-1

8t

當t=0時，函數在[-1，1]上為增函數，最大值為h（t）=1，最小值為g（t）=-1
當t＜0時，函數f（x）開口向下
-1＜-

1

4t

＜1時即t＜-

1

4

，函數在[-1，-

1

4t

]上為增函數，在[-

1

4t

，1]上為減函數，最大值為h（t）=

-8t2-1

8t

，最小值為g（t）=t-1
-

1

4t

≥1時即0＞t≥-

1

4

，函數在[-1，1]上為減函數，最大值為h（t）=t-1，最小值為g（t）=t+1
∴F（t）=h（t）-g（t）=

2t+ 1 8t +1  ，t＞ 1 4 2               ， 0≤t≤ 1 4 -2              ，- 1 4 ≤ t＜0 -2t- 1 8t -1   ，t＜- 1 4

點評：本題考查了三角函數的化簡求值以及函數零點的求法，求函數的零點時要注意x的范圍，以及函數最值的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．