Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，PB⊥平面ABCD，PB=1．
（1）求異面直線PA與CD所成角的大小；
（2）求二面角A-PD-B的大小．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）取BC中點F，連結AF交BD于E，連結PF，∠FAP是異面直線PA與CD所成的角，由此能求出異面直線PA與CD所成角．
（2）連結AF，交BD于E，過E作EG⊥PD于G，連結AG，由已知得∠AGE為二面角A-PD-B的平面角，由此能求出二面角A-PD-B的大小．

解答： 解：（1）取BC中點F，連結AF交BD于E，連結PF，
在梯形ABCD中，AF∥CD，
∴∠FAP是異面直線PA與CD所成的角，
在△PFA中，AF=

2

，PF=

2

，PA=

2

，
∴∠PFA=

π

3

，
∴異面直線PA與CD所成角為

π

3

．
（2）連結AF，交BD于E，過E作EG⊥PD于G，連結AG，
∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，
在菱形ABFD中，AE⊥BD，則AE⊥平面PBD，
∵EG⊥PD，∴AG⊥PD，
∴∠AGE為二面角A-PD-B的平面角，
在△AGE中，AE=

2

2

，EG=

6

6

，
∴tan∠AGE=

AE

EG

=

3

，
∴∠AGE=

π

3

，
∴二面角A-PD-B的大小為

π

3

．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．