Question

    定義在(－1，1)上的函數f(x)滿足：對任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)= ．

    (1)求證：函數f(x)是奇函數；

    (2)如果當x∈(－1，0)時，有f(x)＞0，求證：f(x)在(－1，1)上是單調遞減函數；

    (3)在(2)的條件下解不等式：+＞0．

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)證明：令x＝y＝0，則f(0)＋f(0)＝f(0)，故f(0)＝0.     令y＝－x，則f(x)+f(－x)==f(0)=0.     ∴f(－x)＝－f(x)，     即函數f(x)是奇函數．     (2)證明：設x1＜x2∈(－1，1)，則     f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=.     ∵x1＜x2∈(－1，1)，     ∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.     因此，∴，即f(x1)＞f(x2).     ∴函數f(x)在(－1，1)上是減函數．     (3)解：不等式+＞0，化為＞.     ∵函數f(x)在(－1，1)上是減函數，     ∴     解得：＜x＜－1.     ∴原不等式的解集為{＜x＜－1．