Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，∠BAC=90°，M，N分別是A₁B₁，BC的中點．
（Ⅰ）證明：AB⊥AC₁；
（Ⅱ）判斷直線MN和平面ACC₁A₁的位置關系，并加以證明．

Answer 1

證明：（Ⅰ）由題意知，CC₁⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB．
∵∠BAC=90°，即AC⊥AB，且AC∩CC₁=C，
∴AB⊥平面ACC₁A₁．
又∵AC₁?平面ACC₁A₁，∴AB⊥AC₁．

（Ⅱ）MN∥平面ACC₁A₁．
證明如下：設AC的中點為D，連接DN，A₁D．
∵D，N分別是AC，BC的中點，
∴DN∥AB，DN=AB．
又∵A₁M=A₁B₁，且AB∥A₁B₁，AB=A₁B₁
∴A₁M₌^∥DN．
∴四邊形A₁DNM是平行四邊形．
∴A₁D∥MN．
∵A₁D?平面ACC₁A₁，MN∉平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．
分析：（Ⅰ）由題意及線面垂直的定理和定義先證AB⊥平面ACC₁A₁，再證出AB⊥AC₁．
（Ⅱ）先判斷平行再證明，由題意再取其它邊得中點作輔助線，證明線線平行，再證MN∥平面ACC₁A₁．
點評：本題考查了平行和垂直兩種重要的關系，用線面垂直的定理和定義實現線線垂直和線面垂直的轉化；一般來說，有中點時再取其它邊得中點作輔助線，利用中位線得線線平行，由線面平行的判定定理得線面平行．